Por ser um método natural da área de engenharia, é comum dúvidas e questionamentos por parte de dentistas e profissionais da área de saúde sobre como o método de elementos finitos funciona, como deve ser a pesquisa e como se interpretar um artigo utilizando a metodologia.
O objetivo dessa palestra é demonstrar quais os princípios e passos básicos para uma análise com o método e servir como uma introdução para pessoas que desejam utilizá-lo em suas pesquisas ou ter mais conhecimento para revisar artigos sobre o tema. Ao invés de abordar longas formulações matemáticas representativas do método, a palestra se concentra na explicação do como a análise é realizada, de forma simples e com vários exemplos para facilitar a compreensão de profissionais que não estão acostumados a fórmulas constitutivas ou cálculo avançado. |
Será Abordado uma definição, bem como discutidos os princípios básicos. Também estaremos demonstrando as diversas etapas de pesquisa e suas características em uma análise com elementos finitos. No caso: o pré processamento que incluem a criação de um modelo computacional e as configurações necessárias par a simulação. A resolução, que nada mais é que o cálculo matemático executado pelo computador e o pós processamento, onde obtemos e analisamos os resultados.
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Vamos considerar que somos projetistas e queremos testar se o nosso projeto atende as especificações desejadas. No caso eu quero saber como as asas de um caça se comportam quando esse atinge velocidade Mach-II. Existem diversas formas de testar o projeto, entretanto, no exemplo um protótipo de caça tem um custo altíssimo sendo que o projeto está numa fase inicial e poderá passar por diversas mudanças.
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É possível a criação de um modelo computacional, configurado com informações reais, como o módulo de elasticidade do aço no avião e fazer uma simulação computacional através de software específico para avaliar o desempenho do projeto. Dessa forma é possível ajustar e melhorar o projeto antes da criação de qualquer protótipo, permitindo que menos protótipos sejam construídos, barateando custos e diminuindo o tempo de testes necessário para o desenvolvimento do produto.
Resumindo, o método dos elementos finitos é a simulação matemática de uma estrutura real, normalmente para fins de teste e avaliação. |
E porque o nome “elementos finitos”? De forma didática pode-se dizer que o termo envolve a simplificação do objeto de estudo para possibilitar a simulação de estruturas. Embora o termo simplificação não seja normalmente desejado, essa é uma das grandes vantagens do método, uma vez que o grau de simplificação pode ser controlado.
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Entretanto com um número infinito de incógnitas é impossível o cálculo dos resultados. Nesse caso temos que simplificar a função para um numero finitos de elementos a fim de realizar o cálculo. Daí o nome elementos finitos. Note que quantos mais elementos eu utilizar para representar a função, mais próximo fica da situação real.
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Então a grande versatilidade do método é controlar o nível de simplificação de forma a atingir uma margem de erro aceitável. No exemplo do caça, eu posso determinar que no resultado da asa do caça, uma margem de erro de 5% é aceitável. É claro que isso varia de pesquisa para pesquisa, mas o importante é entender que o nível de aproximação do objeto real depende muito da qualidade da simulação.
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Sobre sua história, o método é relativamente antigo. Em 1851 já se discutia as possibilidades do método, entretanto só foi criado em 1942 por Richard Courant. Em 1995 já existiam mais de 3800 artigos utilizando o método.
Para avaliar a popularidade do método, podemos utilizar o termo finite element method no pubmed e verificar o grande numero de publicações existentes, lembrando que o pubmed é uma base de dados de pesquisas da saúde e não inclui diversas áreas que utilizam o método. |
Quanto a sua aplicação, considerando ser uma simulação matemática, teoricamente é possível simular qualquer tipo de fenômeno da natureza. Entretanto nem todos os fenômenos estão descritos matematicamente e existem áreas em que o método está mais desenvolvido. Entre eles podemos citar: Análise Térmica, Dinâmica dos fluidos, Eletromagnetismo ,e dentro da odontologia a área provavelmente mais utilizada é a de simulações estruturais, que podem ser estáticas dinâmicas ou análise de fadiga.
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Ainda sobre suas vantagens e desvantagens, devemos considerar em relação a outros métodos de pesquisa que normalmente são usados com finalidade semelhante, principalmente na pesquisa estrutural que é a mais prevalente.
Quando consideramos as estruturas analisadas, o método de elementos finitos tem uma grande vantagem em relação a homogeneidade da amostra. Numa pesquisa com pinos endodônticos, por exemplo, é praticamente impossível conseguirmos 50 dentes exatamente iguais para um ensaio mecânico. Podemos encontrar dentes muito semelhantes, mas não iguais. Da mesma forma fatores como genética, nutrição entre outros fazem com que as características fisico-químicas dos materiais possam ser bem diferentes e ainda podemos encontrar defeitos nesses dentes, muitas vezes invisíveis a inspeção clínica/radiográfica, como trincas e reabsorções devido a traumas. Como a análise de elementos finitos é inteiramente definida pelo pesquisador, evita-se esses riscos encontrados em outros métodos de pesquisa. Quanto ao controle de fatores aleatórios, podemos citar como exemplo que em trabalhos clínicos, devido a problemas nutricionais, stress, doenças sistêmicas ou parafunção, o resultado de pesquisas pode ser afetado, entretanto no método temos total controle sobre esses fatores. Também é relativamente fácil simular estruturas diversas. A alguns anos executei uma pesquisa sobre implantes zigomáticos osseointegrados que seria muito difícil de testar com outros métodos devido a dificuldade para simular esses implantes em crânios e ainda por cima osseointegrados. |
Como comprovado pelo número de artigos publicado no pubmed, é um método bem aceito pela comunidade científica. Existe alguma resistência ao método por parte de alguns profissionais sobre a qualidade dos trabalhos. Em verdade no início das pesquisas na odontologia utilizando o método, ocorreram muitos erros devido principalmente a dificuldade de comunicação entre engenheiros, que tem um conhecimento estrutural, com dentistas que tem conhecimento biológico. Isso resultou em diversos papers publicados de baixa qualidade com sérios erros de metodologia. Com a evolução de grupos multidisciplinares e uma melhor comunicação entre as áreas, a ocorrência desses problemas foi grandemente diminuído. Desde que corretamente realizado e indicado o método pode ser uma ferramenta poderosa para melhor compreensão de determinado fenômeno. É claro que para isso é necessário esforço por parte dos participantes da pesquisa para entender conceitos que não são naturais a sua formação. No meu caso eu tive que decidir entre o consultório e a área de pesquisa para poder me dedicar adequadamente, sendo que não conseguiria resultados satisfatórios se tentasse me dedicar as duas áreas simultaneamente.
Como toda a simulação está contida dentro do computador, podemos avaliar determinado problema com grande numero de opções. Isso será exemplificado a seguir. Outra vantagem interessante é o custo para realizar determinada pesquisa. Podemos considerar custos variados dependendo da pesquisa, como uma tomografia para construir um modelo ou um ensaio mecânico para determinar uma propriedade de material por exemplo, mas normalmente o custo da pesquisa está mais relacionado com o tempo do operador do que com a necessidade de materiais diversos. De outra forma, um ensaio mecânico in vitro com implantes por exemplo, pode necessitar de dezenas, ou até mesmo centenas de implantes. |
Por outro lado existem algumas desvantagens importantes que devem ser consideradas para avaliar o melhor método de pesquisa. A primeira podemos citar a curva de aprendizado. Por não ser um método natural da área de saúde é necessário que exista alguém da equipe com conhecimentos tanto da área de saúde quanto da área de engenharia para realizar pesquisas de forma adequada e evitar erros como os cometidos no passado.
O investimento inicial também é alto. Embora após esse investimento o custo diminua drasticamente, a criação de um laboratório de pesquisa é bem alto, principalmente pelo custo das licenças de softwares e pelos computadores de alto desempenho necessários. E as simplificações são sem dúvida a maior desvantagem do método. A precisão de um modelo, está muito relacionado com o tempo de preparo desse modelo. Criar um cone representando um implante é bem mais rápido, mas pode fornecer resultados diferentes de criar um modelo de implante com as roscas por exemplo. Por ser um método virtual, também é necessário que se avalie se as configurações realizadas estão adequadas para representar determinado fenômeno da vida real. Isso normalmente é realizado por um processo de validação onde se verifica os resultados do método de elementos finitos com outros tipos de estudos a fim de um método validar o outro. É claro que quantos mais métodos forem comparados melhor será a fidelidade do resultado. |
No pré-processamento, primeiro devemos construir um modelo geométrico do objeto de estudo em questão. Esse modelo pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional. É claro que características importantes que provavelmente afetem o resultado devem ser reproduzidas.
Existe uma série de softwares para a criação desses modelos e aqui citei alguns mais conhecidos. |
Com o paquímetro digital mensuramos alguma estrutura de fácil análise, como o caso do pescoço do parafuso, e com essa mensuração é possível a calibragem do software de mensuração proprietário do microscópio digital. Com isso conseguimos analisar todas as demais estruturas e angulações do parafuso que seriam difíceis de realizar com precisão de outra forma.
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Outra forma de construção de modelos é através de exames. Entre eles podemos citar a tomografia computadorizada, a ressonância magnética e a utilização de Scanners 2D ou 3D.
Existem softwares específicos que realizam essa reconstrução e aqui se encontram alguns dos mais conhecidos. O Invesaliuz é um software brasileiro e totalmente gratuito de reconstrução de tomografias em modelos geométricos tridimensionais. Embora ele não tenha todos os recursos dos softwares comerciais, é uma ferramenta poderosa e pode ser utilizado perfeitamente para diversas pesquisas. Na imagem observamos o resultado de uma reconstrução de tomografia de uma maxila. |
É normal a pergunta sobre a necessidade e dificuldades de se utilizar um modelo 3D.
Primeiro devemos considerar que a confecção do modelo é bem mais complexa, necessitando um conhecimento específico maior. O tempo operacional da pessoa fazendo a reconstrução é bem maior e o modelo exige um computador de maior capacidade para o processamento. Entretanto os resultados são mais fiéis e exatamente por essa causa é normalmente mais aceito para publicação. |
Se consideramos um modelo bidimensional, o software que está fazendo a análise não tem como saber se o modelo real é simplesmente a geometria do modelo bidimensional mas com espessura ou se o modelo têm outras características impossíveis de se reproduzir num modelo bidimensional.
Embora seja possível e indicado a utilização de modelos bidimensionais para diversas estruturas, devido a forma irregular da maioria das estruturas biológicas, a análise bidimensional está normalmente contra indicada nesses casos. |
Aqui temos uma lista de softwares de elementos finitos, sendo listados alguns dos mais conhecidos. Uma lista mais completa pode ser encontrada no Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages
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O método de elementos finitos convencional não é capaz de analisar um modelo geométrico e antes de realizar a simulação propriamente dita é necessário fazer a discretização do modelo, que consiste em transformar o modelo geométrico em uma malha de elementos finitos. Essa malha consiste exclusivamente de elementos, representados pelos traços na figura e os nós, representados pelos pontos entre os traços. Embora possamos ver o modelo sólido por trás da malha isso é apenas para facilitar a visualização das estruturas, porque na verdade se somente a malha fosse plotada veríamos uma estrutura em forma de arame feita exclusivamente por elementos e nós.
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Devido a forma como a análise de elementos finitos é calculada, quanto maior o numero de elementos em uma determinada região, maior será a precisão do resultado naquela região. Por esse motivo somente algumas áreas são refinadas, melhorando a precisão do modelo, sem aumentar exageradamente o peso computacional.
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Também é necessário configurar as estruturas da simulação com propriedades reais que representem o comportamento dessas estruturas na situação real. As propriedades necessárias dependem do tipo de análise realizada. No caso de uma análise estrutural é necessário no mínimo o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material para realizar a simulação.
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Outros tipos de configuração também são necessárias e dependem muito da análise realizada. No caso da simulação de uma prótese dentária, por exemplo, as condições de carga refletem na maioria das vezes uma carga mastigatória.
Deve-se ter grande cuidado para que essas configurações reflitam a situação real. Infelizmente nem sempre isso é possível e nesses casos deve-se entender o tipo de simplificação realizada e como ela pode afetar o resultado, para que as conclusões da pesquisa não sejam erradas. |
Outro fator que causa muitas dúvidas é a diferença entre uma simulação linear e uma não linear. Sem adentrar toda a teoria envolvida, de forma simplista podemos dizer que uma simulação linear é quando a intensidade do estímulo é proporcional ao efeito na estrutura que sofreu o estímulo e na simulação não linear o estimulo não é proporcional ao efeito.
Se consideramos essa relação estímulo-efeito em um gráfico veremos que o comportamento formará uma reta, daí o nome linear, enquanto a não linear isso não ocorre. |
Mas para que fique claro, vamos considerar uma pedra aderida firmemente sobre uma superfície. Se aplicarmos uma força lateral sobre a pedra, ocorrerá um acúmulo de tensões na base da pedra pela reação a força aplicada. Esse acúmulo será tanto maior quanto a força aplicada. Isso considerando que a força só foi capaz de causar deformações elásticas.
Entretanto vamos considerar um segundo cenário em que a força aplicada causou uma deformação plástica rompendo a adesão entre a pedra e a base. Isso fará que a pedra deslize e gere tensões sobre zonas da base diferentes daquela enquanto estava aderida. Em um gráfico de relação estímulo-efeito na região inicial da base haveria um acúmulo de tensões numa fase inicial e depois cairia a zero devido ao descolamento da pedra. |
A simulação não linear, devido ao seu comportamento atípico não pode ser facilmente calculada pelo software. Dessa forma é necessário que ocorra uma análise de convergência por um método chamado Newton-Rapson.
Com este método o software vai ajustando os resultados a partir de uma estimativa inicial, até que todas as condições do modelo se apresentem de forma adequada. No exemplo, se consideramos duas barras justapostas unidas a base, mas não entre si e aplicarmos uma força lateral o software fará uma estimativa inicial da deformação das barras. Entretanto nessa primeira estimativa ocorreu uma deformação excessiva da barra 1 e uma deformação pequena da barra 2 causando penetração entre as duas barras. Isso caracteriza um erro de convergência. O software continuará ajustando as deformações até que todas as condições sejam atendidas, quando então considera-se que o modelo convergiu. |
Dois fatores importantes devem ser considerados numa análise não linear: a aproximação da realidade, sendo muitas vezes obrigatório a utilização de uma simulação não linear para obter um resultado satisfatório e o tempo computacional, porque devido a necessidade de sucessivas análises de convergência o tempo de cálculo aumenta grandemente. Quanto tempo exatamente vai aumentar depende da simulação em questão, mas existem casos em que o numero de convergências necessários para obter um resultado alcança o numero de milhares.
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Quando todos os modelos são construídos e todas as configurações são realizadas e a malha de elementos finitos é definida é hora de solucionar o problema. Nessa etapa normalmente o fator mais preocupante é o tempo necessário para conclusão da análise. Pode acontecer numa análise não linear que o problema não consiga ser resolvido após sucessivas tentativas de convergência.
Considerando que foi concluída a simulação passa-se a fase de pós processamento. |
Na fase de pós processamento os resultados são analisados e comparados. Uma característica interessante do método de elementos finitos é que, uma vez que a análise foi calculada inteiramente pelo computador, todas as características dos resultados podem ser avaliados. Nas figuras pode-se visualizar a pressão existente na superfície de contato entre as diferentes estruturas, o eixo de deslocamento e a zona de fulcro na movimentação das estruturas ou até mesmo a direção dos vetores de tensão incidentes sobre determinada estrutura, no caso a dentina de um remanescente dental que sofreu tratamento com pino intracanal.
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Mas qual a importância desses diferentes tipos de resultado? Depende muito do que se está analisando.
No caso do remanescente dental, se verificarmos a direção dos vetores de tensão, podemos analisar onde ocorreram as maiores tensões e prever o tipo de fratura que ocorrerá em cada tratamento, analisando se vai ser uma falha catastrófica ou não, melhorando o compreendimento e a discussão sobre diferentes condições de tratamento. |
Então é importante entender a simulação realizada, suas características e simplificações de forma a coletar os resultados que melhor revelem as características que se pretende analisar. Da mesma forma deve-se tomar cuidado para ajustar as escalas e definir unidades corretamente para uma melhor comparação entre os diferentes resultados.
Embora possa parecer óbvio que uma comparação entre dois resultados deve estar na mesma escala e unidade para melhor comparação, infelizmente na literatura encontram-se exemplos em que esses cuidados não foram tomados, dificultando a interpretação. |
Neste exemplo o material que está sendo analisado é a dentina, que tem uma resistência a compressão 7 a 8 vezes maior do que a sua resistência a tração. Se utilizarmos um critério de análise como o de von Mises, que não faz distinção entre tensões de tração e compressão, teremos que as maiores tensões está ocorrendo na porção médio vestibular da raiz do dente. Entretanto pela dentina ser um material friável e as tensões de tração serem muito mais deletérias, se analisarmos através das tensões máximas principais, que de forma simplificada podemos dizer que são as maiores tensões de tração que ocorrem na estrutura, verificamos que as maiores tensões de tração estão ocorrendo na região cervical palatina do dente e é nessa região que provavelmente ocorrerá a fratura.
Verifique como a escolha do critério de resultado pode afetar totalmente o resultado e conclusão da simulação. |
Da mesma forma a escala pode afetar a interpretação dos resultados. Se consideramos que as zonas vermelhas representam as áreas de maior tensão, pode-se sugerir que o terceiro resultado é o que concentra maiores tensões, quando na verdade é o mesmo resultado plotado em diferentes escalas.
O objetivo aqui não é levar ninguém ao engano, mas simplesmente demonstrar o quanto pequenos cuidados podem afetar a nossa interpretação dos resultados. |
Consideramos por exemplo a simulação de pinos intra canais em diferentes tipos de remanescentes dentais.
A única diferença entre os resultados da direita e da esquerda é o tipo de contato entre o pino a parede do canal. No caso dos modelos lineares foi considerado um contato do tipo união perfeita, onde não é possível a formação de gaps ou deslizamentos e no caso dos modelos não lineares foi considerado que existia embricamento mecânico entre o pino e o canal, uma vez que o cimento de fosfato de zinco não é capaz de prover uma união perfeita. Os resultados diferiram grandemente quantitativamente e qualitativamente devido apenas essa alteração no contato entre superfícies. No caso dos modelos lineares a união pelo cimento é perfeita, mas isso somente vai acontecer quando for descoberto um cimento capaz de prover essa qualidade de união. No caso das simulações não lineares os resultados estão mais próximos da realidade uma vez que o mecanismo de ação do fosfato de zinco é o embricamento mecânico. Isso é apenas para demonstrar como é importante reconhecer as condições de simulação para examinar corretamente os resultados e as implicações dos mesmos. |
Lembrando que os resultados com o método dos elementos finitos deve ser comparado com metodologias complementares sempre que possível, para aumentar a compreensão de determinado problema e verificar se a análise foi realizada corretamente, processo comumente chamado validação. Caso não ocorra concordância entre os resultados, não devemos assumir precipitadamente qual dos métodos está errado e uma criteriosa análise deve ser realizada.
Como comentado anteriormente, é essencial que a análise seja corretamente executada e os resultados avaliados de forma adequada, por profissionais que entendam as características da simulação e do objeto de estudo, que tenham conhecimento multidisciplinar, para garantir a qualidade dos resultados obtidos. |